Perda de carga em tubulações de água: Darcy-Weisbach e Fair-Whipple-Hsiao

Toda a verificação de pressão de uma rede de água fria ou quente depende de um número: quanto de pressão a água perde por metro de tubo numa dada vazão. É a perda de carga unitária $J$, em metros de coluna d'água por metro (mca/m). Multiplicada pelo comprimento do trecho, dá a perda distribuída; aplicada ao comprimento equivalente das conexões, dá a perda localizada.

O que a NBR 5626:2020 pede

A norma não impõe uma fórmula. Ela exige que as perdas de carga e as pressões dinâmicas nos pontos de utilização sejam calculadas "mediante o emprego de equações pertinentes" (item 6.14.4), e a nota do item diz que a equação universal (Darcy-Weisbach) é a mais indicada; quem usa equação empírica deve adotar a mais adequada ao material e ao diâmetro do trecho. Os diâmetros saem das velocidades e vazões, do ruído, do material e da perda de carga disponível, de modo a garantir a pressão dinâmica mínima de cada peça (6.14.3). A edição de 1998 dizia o mesmo com mais detalhe (A.2.1): recomendava a equação universal com a rugosidade informada pelo fabricante do tubo e, na falta dela, as expressões de Fair-Whipple-Hsiao, que ela própria trazia. São as duas fórmulas que dominam a prática brasileira: Darcy-Weisbach, universal, e Fair-Whipple-Hsiao, empírica e feita para tubos de pequeno diâmetro de instalações prediais.

Darcy-Weisbach

$$J = f\,\frac{v^2}{2\,g\,D}$$

• $v$: velocidade da água (m/s), $v = 4Q/(\pi D^2)$;
• $D$: diâmetro interno (m);
• $g$: 9,81 m/s²;
• $f$: fator de atrito, adimensional, que depende do regime de escoamento e da rugosidade.

Número de Reynolds

$$Re = \frac{v\,D}{\nu}$$

com $\nu$ a viscosidade cinemática da água: 1,004 × 10⁻⁶ m²/s a 20 °C (água fria) e 0,658 × 10⁻⁶ m²/s a 40 °C (água quente).

Fator de atrito

• $Re < 2\,000$, regime laminar: $f = 64 / Re$.
• $Re \geq 2\,000$, regime turbulento, equação de Colebrook-White:

$$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}71\,D} + \frac{2{,}51}{Re\,\sqrt{f}}\right)$$

A incógnita $f$ aparece dos dois lados, então a equação se resolve por iteração (Newton-Raphson, partindo de $1/\sqrt{f} = 1$, converge em poucas voltas). $\varepsilon$ é a rugosidade absoluta da parede do tubo.

Rugosidade por material

Os valores de PVC e CPVC estão do lado conservador (tubo usado, com incrustação leve); os dos plásticos lisos são de tubo novo. Fonte: catálogos dos fabricantes.

Fair-Whipple-Hsiao

Fórmula empírica para tubos lisos de pequeno diâmetro (plástico e cobre, DN 12,5 a 100 mm), que dispensa o fator de atrito:

$$J = 8{,}69 \times 10^{5}\,\frac{Q^{1{,}75}}{D^{4{,}75}}$$

com $Q$ em L/s, $D$ interno em mm e $J$ em mca/m. A NBR 5626:1998 (A.2.1) escreve a mesma expressão em kPa/m, $J = 8{,}69 \times 10^{6}\,Q^{1{,}75}\,d^{-4{,}75}$, para tubos lisos (plástico, cobre ou liga de cobre); dividir por 10 (1 mca ≈ 10 kPa) dá a forma em mca/m. Para tubos rugosos (aço-carbono, galvanizado ou não) ela traz $J = 20{,}2 \times 10^{6}\,Q^{1{,}88}\,d^{-4{,}88}$, também em kPa/m. (Com $Q$ em m³/s e $D$ em m, a fórmula dos tubos lisos fica $J = 0{,}000869\,Q^{1{,}75}/D^{4{,}75}$ mca/m.) A dependência com $D^{-4{,}75}$ é o que faz um diâmetro comercial acima cortar a perda a um terço.

Para água quente a perda real é um pouco menor (viscosidade menor); usar a mesma fórmula fica a favor da segurança.

Perdas localizadas: comprimento equivalente

Cada conexão (joelho, tê, registro, válvula) perde o mesmo que um certo comprimento de tubo reto do mesmo diâmetro, o comprimento equivalente $L_{eq}$, tabelado por tipo e diâmetro. A perda do trecho fica:

$$\Delta h = J\,(L + \sum L_{eq})$$

A tabela A.3 da NBR 5626:1998 dá os valores para tubo liso (plástico, cobre ou liga de cobre), em metros de tubo:

A tabela segue até DN 150, e a A.2 traz os valores para tubo rugoso (aço). Registros: o de gaveta aberto é de passagem plena e tem perda pequena, que a norma manda desprezar (A.2.3); o de pressão (globo) perde muito e entra pelo coeficiente $K$ do fabricante ou pelo comprimento equivalente do catálogo (cerca de 11 m para DN 25). Válvula de retenção e válvula de pé com crivo vêm do catálogo (da ordem de 2 a 4 m e de 8 a 10 m, respectivamente, em DN 25 a 32). Quando não dá para prever as conexões, a norma admite estimar o comprimento equivalente como 10 % a 40 % do comprimento real, conforme a complexidade do traçado (A.2.2). A conexão PEX tem valores próprios (Perda de carga em conexões PEX).

Exemplo resolvido

Trecho de DN 32 (interno 27,8 mm) com vazão de 0,444 L/s, 18 m de tubo e 6,5 m de comprimento equivalente (dois cotovelos de 90°, duas curvas de 45° e um tê de passagem direta pela tabela A.3).

Fair-Whipple-Hsiao

Comprimento equivalente das conexões:

$$\boldsymbol{L_{eq} = \sum L_{eq,i}}$$$$L_{eq} = 2 \times 2{,}0 + 2 \times 0{,}5 + 1{,}5 = 6{,}5 \text{ m}$$

Perda unitária, com $Q$ em L/s e $D$ em mm:

$$\boldsymbol{J = 8{,}69 \times 10^{5}\,\frac{Q^{1{,}75}}{D^{4{,}75}}}$$$$J = 8{,}69 \times 10^5 \times \frac{0{,}444^{1{,}75}}{27{,}8^{4{,}75}} = 0{,}029 \text{ mca/m}$$

Perda do trecho:

$$\boldsymbol{\Delta h = J\,(L + \sum L_{eq})}$$$$\Delta h = 0{,}029 \times (18 + 6{,}5) = 0{,}71 \text{ mca}$$

Darcy-Weisbach com Colebrook-White

Velocidade:

$$\boldsymbol{v = \frac{4\,Q}{\pi\,D^2}}$$$$v = \frac{4 \times 0{,}000444}{\pi \times 0{,}0278^2} = 0{,}73 \text{ m/s}$$

Número de Reynolds:

$$\boldsymbol{Re = \frac{v\,D}{\nu}}$$$$Re = \frac{0{,}73 \times 0{,}0278}{1{,}004 \times 10^{-6}} = 20\,300$$

Turbulento. Com $\varepsilon = 0{,}06$ mm, $\varepsilon/D = 0{,}00216$, a iteração de Colebrook-White converge em $f = 0{,}030$.

Perda unitária:

$$\boldsymbol{J = f\,\frac{v^2}{2\,g\,D}}$$$$J = 0{,}030 \times \frac{0{,}73^2}{2 \times 9{,}81 \times 0{,}0278} = 0{,}0295 \text{ mca/m}$$

As duas fórmulas dão praticamente o mesmo resultado, como é de esperar para PVC nessa faixa de diâmetro.

Como o UnMEP Aqua calcula

Em Configurações Gerais › Opções de Pressão você escolhe a fórmula do projeto: Darcy-Weisbach (padrão) ou Fair-Whipple-Hsiao. A escolha vale para o alimentador, as peças de água fria e quente e o boiler; o recalque usa sempre Fair-Whipple-Hsiao.

• Viscosidade: 1,004 × 10⁻⁶ para água fria e 0,658 × 10⁻⁶ para água quente, editáveis.
• Rugosidade por material: a tabela acima, editável. O Aqua identifica o material pelo tipo de tubo do Revit (PVC, CPVC, PPR, PEAD, PEX, aço); tipo desconhecido usa "material não identificado". Se um trecho mistura materiais, vale a maior rugosidade.
• Colebrook-White é resolvida por Newton-Raphson até a diferença entre iterações ficar abaixo de 0,1 %.
• Comprimentos equivalentes: cada conexão da biblioteca UnMEP traz os parâmetros UnMEP - Comprimento Equivalente (Passagem Direta) e (Passagem Lateral); o Aqua escolhe o certo pelo caminho da água no tê. Conexão de outra biblioteca entra com perda zero. O total do trecho vai para UnMEP: Comprimento Equivalente no tubo e para a coluna "equiv." do memorial, ao lado de "real", "distrib." e "localiz.".

Passo a passo no plugin: Entenda: as Configurações Gerais e Entenda: o que o modelo precisa ter.

Perguntas frequentes

Darcy ou Fair-Whipple? Para PVC, CPVC e PPR até DN 100 as duas dão o mesmo, e Fair-Whipple-Hsiao é mais simples de conferir à mão. Darcy-Weisbach é a escolha para aço, ferro ou diâmetros maiores, onde a rugosidade pesa, e é a que a NBR 5626:2020 aponta como mais indicada (nota de 6.14.4).

Por que o diâmetro conta tanto? A perda cai com o diâmetro elevado a 4,75 (Fair-Whipple) ou a 5 (Darcy). De DN 25 para DN 32 a perda cai a um terço; para DN 40, a um décimo.

Comprimento equivalente ou coeficiente K? São duas formas da mesma coisa: $L_{eq} = K\,D/f$. Instalações prediais usam comprimento equivalente por ser tabelado por diâmetro e somar direto ao tubo.

Fontes

• ABNT NBR 5626:2020, Sistemas prediais de água fria e água quente: projeto, execução, operação e manutenção (6.14.3 e 6.14.4).
• ABNT NBR 5626:1998, Instalação predial de água fria (A.2.1, fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao; A.2.2 e tabelas A.2 e A.3, comprimentos equivalentes; A.2.3, registros).
• Porto, R. M. Hidráulica Básica. EESC-USP, 2006.
• Azevedo Netto, J. M. Manual de Hidráulica. Blucher, 8ª ed.
• Fox, R. W.; McDonald, A. T.; Pritchard, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC, 8ª ed., 2014 (viscosidade da água).